Respuestas al Problema de la Semana: Cuadrados perfectos

Recuerda el problema: Sólo los números que son cuadrados perfectos tienen un número impar de divisores. ¿Por qué ocurre eso?

Ángela ha respondido bien a través de comentario. Lo puedes ver aquí.

Mario envía esta respuesta, esencialmente igual a la de Ángela, aunque más clara en su exposición:

 

Ana (parece que con ayuda) ha respondido en un fichero de texto, que corto y pego. Es muy largo y explicativo, aunque en realidad con lo que apunta Mario queda bien explicado el problema, de forma muy intuitiva. Dice:

Para hallar los divisores debemos saber que:

1. Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o en cifra par.
2. Un número es divisible por 3 si lo es la suma de sus cifras.
3. Un número es divisible por 4 si lo es el número formado por sus dos últimas cifras.
4. Un número es divisible por 5 si acaba en 0 o en 5.
5. Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3 al mismo tiempo.
6. Un número es divisible por 8 si lo es el formado por sus tres últimas cifras.
7. Un número es divisible por 9 si lo es la suma de sus cifras.
8. Un número es divisible por 10 si acaba en 0.
9. Un número es divisible por 11 si lo es la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar impar y la suma de las que ocupan lugar par.
10. Un número es divisible por 25 si lo es el formado por sus dos últimas cifras.
11. Un número es divisible por 100, 1000, 10000,... si acaba en 00, 000, 0000,...

Para que un número n sea divisible por otro a, el primero (n) debe contener todos los factores primos del segundo (a) con exponentes mayores o iguales, o de forma equivalente, el segundo (a) sólo puede estar formado por un producto de factores primos del primero (n) con exponentes menores o iguales que los que aparecen en la descomposición de n o ser la unidad.

Si N = a^p sus divisores son a⁰, a¹, a²,..., a^p .En total p+1 divisores

Si descomponemos el número N en sus números primos, el número de factores que aparecen elevados a sus exponentes, los divisores serán todas las potencias con exponentes menores a los que tiene cada factor.

Si N = a^p .b^q

Las potencias de cada factor serán: a⁰, a¹, a²,..., a^p  ; b⁰, b¹, b²,..., b^q

Los divisores se obtendrán formando todos los posibles productos de cada potencia de a por cada potencia de b.

nºde divisores de N = (p+1)·(q+1) ...

p = exponente del primer factor y q= exponente del 2º factor ...

Los únicos números que tienen un número impar de divisores son los cuadrados perfectos ya que los divisores como son el resultado de un producto vienen dados por parejas, sin embargo, en los cuadrados perfectos como tienen raíz natural k, tienen la pareja de factores kk=n.

Ejemplos:

A) Sin aplicar la descomposición factorial:

Hay que dividir por los números naturales 1,2,3,4... y de cada división se sacan dos (el divisor y el cociente). Cuando el cociente es menor que el divisor se termina: 
Divisores de 15:

15: 1 = 1 y 15

15:2 = ninguno

15: 3 = 5 y 3

15: 4= ninguno

15: 5 = 3 y 5 (ya lo tenemos)

Resultado: 1,3,5,15 (par) son los divisores de 15

Divisores de 40

40:1 = 1 y 40

40:2 = 20 y 2

40:3 = ninguno

40:4 = 10 y 4

40:5 = 8 y 5

40:6 = ninguno

40:7 = ninguno

40:8 = 5 y 8 (ya lo tenemos)

Resultado = 1,2,4,5,8,10,20,40 (par) son los divisores de 40

Del cuadrado perfecto 25, sus divisores son:

25:1 = 1 y 25

25: 2 = ninguno

25: 3 = ninguno

25:4= ninguno

25:5 = 5 y 5 (se repite al ser 25 el cuadrado de 5)

Divisores de 25 = 1,5,25 (impar)

Del cuadrado perfecto 36 sus divisores son:

36: 1 = 1 y 36

36: 2 = 18 y 2

36:3= 12 y 3

36:4 = 9 y 4

36:5 = ninguno

36: 6 = 6 y 6 (se repite al ser 36 el cuadrado de 6)

Divisores de 36: 1,2,3,4, 6,9,12,18,36 (impar) 
   
B) Si aplicamos la descomposición factorial tenemos:

Divisores de 15:

15        3

5          5

1          1

3¹x 5¹

p=1 y q = 1

(1+1) x (1+1) = 4 (par)

Resultado: 1,3,5,15 (par) son los divisores de 15

Divisores de 40:

40        2

20        2

10        2

5          5

1          1

2³ x 5¹

p= 3; q= 1

(3+1) x (1+1) = 8 (par)

Resultado = 1,2,4,5,8,10,20,40 (par) son los divisores de 40

Divisores de 25 (cuadrado perfecto)

25        5

5          5

1          1

5² ; p = 2+1 = 3 ( impar)

Divisores de 25 = 1,5,25 (impar)

Del cuadrado perfecto 36 sus divisores son:

36        2

18        2

9          3

3          3

1          1

2² x 3²

p=2; q=2 ; 3 x 3 = 9 (impar)

Divisores de 36: 1,2,3,4, 6,9,12,18,36 (impar)

c.q.d. (como queríamos demostrar)