jueves, 15 de diciembre de 2011

Problema de la semana: Papel para una revista

Para imprimir una revista se han utilizado bobinas de papel que tienen un diámetro de 10 cm, conteniendo en su interior un tubo de 4 cm de diámetro. Sabiendo que la altura de cada una de ellas es de 1,5 metros y que el grosor del papel es de 0,1 mm, calcular aproximadamente los metros cuadrados de papel que contiene cada bobina.
Se reciben comentarios hasta el jueves 22 de diciembre a las 22:00. Entonces se harán visibles, junto a la solución correcta.

5 comentarios:

  1. Hola soy Jorge S. de 3ºC; Primero pasamos todas las medidas que nos dan a mm.
    10cm=100mm(Diámetro bobina de papel)
    4cm=40mm (Diámetro tubo)
    1,5m=1500mm (altura bobina)
    0.1mm=0.1mm(grosor del papel)
    Si la bobina se coloca en vertical es un cilindro por lo tanto lo primero que haremos será hallar el área lateral de la bobina:
    A.LAT= 2x3.14xRADIOxALTURA=2x3.14x50x1500=471238.9 mm cuadrados.
    Ahora vamos a calcular el grosor de todas las capas de papel: 50-20=30 mm de grosor
    Si dividimos 30:0.1= 300 sabremos las capas de papel que hay en la bobina.
    Por tanto la superficie total será:
    ST:(2x3.14xr1 + 2x3.14xr2 + 2x3.14xr3...+ 2x3.14xr300)x1500
    Tenemos que tener en cuenta que cada radio será 0.1 menor que el radio anterior.
    Sacando factor común a 2x3.14 nos queda:
    ST=2x3.14(r1 + r2 + r3 +...+ r300)x1500
    Vemos que r1 + r2 + r3+...+ r300 es la suma de los 300 términos de una progresión aritmética de diferencia=-0.1 y r1=50mm y r300=20.1
    Por tanto:
    SN= R1+R300 dividido entre 2 y por 300
    S300=50+20.1 dividido entre 2 y por 300=10515mm
    Ya podemos calcular los metros cuadrados de papel que contiene cada una de las bobinas:
    ST=2x3.14x10515x1500=99101540.26mm cuadrados=99.10 metros cuadrados aproximadamente 99metros cuadrados.

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  2. Soy Ángela G.
    Yo lo primero que he hecho a sido pasar todas las medidas a mm.
    *1,5m.=1500mm.
    *2cm.=20mm.
    *5cm.=50mm.
    Calculo el grosor de capas de papel:
    *50-20=30mm.
    Para poder calcular el número de vueltas de papel que hay en la bobina dividimos:
    *30/0,1=300 vueltas.
    El radio más grande mide 50mm. y el más pequeño 20,1mm. lo sumamos:
    *50+20,1=70,1
    el radio siguiente por afuera mide 49,9mm. y el siguiente por adentro 20,2 y si lo sumamos vuelve a salir 70,1.
    Luego,vemos que al sumar el radio más grande con el más pequeño siempre da el mismo resultado. A sí que para calcular el radio de cada vuelta basta con hayar el radio medio.
    *(50+20,1)/2=35,05mm.
    Hay que calcular la superficie de ésta figura para saber cuando mide una vuelta de papel:
    *S=2.3,1416.35,05.1500=330338,47mm(cuadrados)
    Lo pasamos a metros cuadrados
    *330338,47mm(cuadrados)=0.33m(cuadrados)
    Como hay 300 vueltas:
    0,33x300=99,10m(cuadrados) aproximadamente.

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  3. Hola, soy Mario.
    Lo primero pasamos todas las medidas a la misma unidad; 10cm=100mm 4cm=40mm 1,5m=1500mm
    El radio exterior=50mm
    Hay que tener en cuenta el grosor del papel.
    Para calcular la superficie deberíamos hallar la suma de las longitudes de todas las circunferencias de cada una de las vueltas de papel y multiplicarlo por 1500.
    El radio de cada vuelta medirá 0,1mm menos que el anterior pero hayando la semisuma del radio más grande 50mm y el mas pequeño 20,1 mm hallaremos el radio medio de todas las vueltas.
    Por tanto:
    (50+20,1):2=35,05mm
    Cada vuelta por término medio tendrá una superficie de 2xPIx35,05x1500=330330,47m cuadrados=0,33m cuadrados.
    Por otro lado averiguaremos la cantidad de vueltas que hay en la bobina y para ello restamos los radios.
    50-20=30mm es el grosor total de la bobina.
    20:0,1=300 vueltas tiene la bobina.
    Los m cuadrados que contiene una bobina será:
    0,33 x 300 = 99 mcuadrados

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  4. Hola, soy Ana:

    Ponemos todos los datos en cm.

    Para resolver este problema, usaremos las fórmulas del desarrollo del cilindro, pero en concreto nos quedaremos en con área del rectángulo que es la parte del rollo de la bobina, y no nos interesan las bases del cilindro, por lo que usaremos la fórmula siguiente:
    a= b*h = (2*pi*R)*L
    L=150cm
    R=2, 2'01, 2'02, 2'03...4'09, 5cm

    Superficie de cilindro empezando por el más pequeño:
    pi=3.14
    El radio de la vuelta más pequeña tendrá el radio de 2 (la mitad del diámetro que es 4cm)
    a1=2*pi*2*150=1884cm^2
    El radio de la segunda vuelta más pequeña tendrá el radio de 2,01 (la mitad del diámetro que es 4cm)
    a2=2*pi*2,01*150=1893.42cm^2
    a3=2*pi*2,02*150=1902.84cm^2
    a4=2*pi*2,03*150=1912.26cm^2

    Así seguiríamos hasta el radio final, pero vemos que hay una relación entre las superficies:
    a1=1884cm^2 +9.42 = S2=1893.42cm^2

    a2=1893.42cm^2 +9.42= S3=1902.84cm^2

    a3=1902.84cm^2 +9.42= S4=1912.26cm^2
    a4=1912.26cm^2

    Es decir, que sigue la forma de una progresión aritmética al que a un término le sumas 9.42 y obtienes el siguiente.

    Hay una fórmula para hallar la suma de una parte de progresión aritmética. La fórmula es:

    n= número de términos de la progresión aritmética.
    a1= primer término de la progresión aritmética.
    An=último término de la progresión aritmética.

    Ejemplo de suma de parte de una progresión aritmética:
    Es decir, si tengo una progresión geométrica como podría ser:
    1, 2, 3, 4, 5 y 6
    Cuyo paso de uno a otro es sumando 1, podemos calcular según la fórmula la suma total de los datos:
    a=[6*(1+6)]/2 =21
    Como vemos, es igual a la suma de los datos: 1+2+3+4+5+6=21


    Para poder usar esto en nuestro problema, calculamos el último valor de la progresión:
    El radio de la vuelta más grande tendrá el radio de 5 (la mitad del diámetro que es 10cm)
    af=2*pi*5*150=4710cm^2

    Nos falta saber el número de dato que tendrá nuestra progresión aritmética, es decir lo valores que hay entre 2 y 5cm tomado de 0.01 en 0.01

    1 cm está dividido en 10mm y cada milimetro en 10, por lo que por cada centímetro tendrá 100 vueltas. Como tenemos 3cm (entre 5 y 2cm que son los radios de los cilindros) habrá 300 divisiones.
    Suma de todos los valores será:
    a= [n*(a1+af)/2]= [300*(1884+4710)/2]=989100cm^2

    Metros cuadrados de cada bobina: a=989100cm^2

    Teniendo el área podemos calcular la longitud del rollo:
    Como el área es la base por el lado, para hallar la base sustituimos (dado que la anchura la sabemos que es 150cm):
    A=B*L; B=A/L=989100/L=989100/150=6594cm=65.94m de rollo.
    Metros cuadrados de cada bobina: a=989100cm^2
    como veis lo he dejado en cm^2 sin darme cuenta, por lo que debería poner: (dividiendo por 10.000 porque al ser al cuadrado se avanzan 2 posiciones para cada unidad de longitud)
    Metros cuadrados de cada bobina: a=98.91m^2

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  5. Hola soy Alejandro T. y creo que la respuesta es ≈ 1.242,31 m²
    1º He calculado el nº de vueltas que da el rollo de papel hasta que se acabe. Si sabemos que el área de un circulo es entonces si hallo esto y lo divido entre el grosor del papel sabré cuantas vueltas dará el cilindro completo:
    S = 2 X 3.14 X 5 = 31.40 cm.
    Si el grosor es 0.1 mm entonces es 0.01 cm
    31.40 cm X 0.01 = 3140 vueltas.
    Ahora el área de la superficie lateral ( 1 vuelta ) que es S =
    S = 2 x 3.14 x 5 x 150 = 4170 cm².
    Calculamos la superficie que resultara del cilindro completo:
    4170 cm² x 3140 vueltas = 14789400 cm²
    14789400 cm² = 1478.94 m².
    2º Ahora hay que calcular el cilindro interior para restárselo al total; para eso hacemos lo mismo:
    S = 2 x 3.14 x 2 = 12.56 cm.
    Si el grosor es de 0.01 cm
    12.56 cm x 0.01 cm = 1256 vueltas
    Calculamos el área lateral
    S = 2 x 3.14 x 2 x 150 = 1884 cm²
    Calculamos la superficie del cilindro interior:
    1884 cm2 x 1256 vueltas = 2366304 cm2
    2366304 cm2 = 236.6304 m2
    3º Restamos las dos superficies para que solo quede la pedida:
    1478.94 – 236.6304 = 1242.3096 m2
    El resultado que me da apróximado es 1242.31 m2

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